Axioma

Een axioma is een niet bewezen propositie die een deel is van de basis van een axiomatisch systeem. Een axioma kan niet waar of onwaar zijn in een axiomatisch systeem, want het heeft geen betekenis. Het axioma zegt alleen iets over de gemeenschappelijke kenmerken van modellen die kunnen worden toegepast op het axiomatisch systeem, waar axioma's altijd waar zijn.

Geschiedenis

De grondlegger van de theorie van axioma's is de Griekse wijsgeer Euclides. In ~300 v.C. definieerde hij een axioma als iets dat vanzelfsprekend waar is in de wereld, iets wat geen verantwoording nodig heeft: "Axioma hebben geen rechtvaardiging nodig omdat zij vanzelfsprekend ware uitspraken over de wereld zijn." Op zijn vijf axioma's is de zogenaamde Euclidische meetkunde gebaseerd. Natuurlijk was Euclides niet de enige die hierover nadacht, Aristoteles bijvoorbeeld zei al eerder:

Now it is impossible that there should be a demonstration of absolutely everything, for there would be an infinite regress, so that even then there would be no proof. ... [A man who takes the contrary view] ... is no better than a vegetable.

Tot 1820 werd aan de definitie van Euclides niet meer getornd. In ~1820 kwam er hernieuwde interesse van Cauchy en Weierstraß. Zij klaagden over de onduidelijkheid en onzorgvuldigheid die er soms was, zoals de volgende uitspraak van Cantor illustreert:

Since God is of the highest perfection one can conclude that it is possible for Him to create a transfinitum ordinatum [realm of the infinite]. Therefore, in virtue of His pure goodness and majesty we can conclude that there actually is a created transfinitum.

en hierover zegt Frege:

Thus Cantor appeals to rather mysterious "inner intuitions", where he ought to have made an effort to find, and indeed could have found, a proof from definitions.

Een meer concreet voorbeeld is te vinden in het parallellen axioma van Euclides. Dit axioma maakt gebruik van een definitie van parallelle lijnen: twee lijnen die elkaar nooit ontmoeten. Dit kan niet worden bewezen. Wat is nooit?

Onder andere Riemann, Heine, (Cantor), Dedekind en met name Frege spanden zich in om de wiskunde preciezer en duidelijker te maken. Het middel hiervoor was de axiomatische wiskunde. Frege wilde hiermee ook de volgende dingen bereiken.

• Laten zien dat wiskundige proposities waar zijn.
• De wiskunde axiomatisch maken, met als doel:
  • De samenhang van de wiskunde (notatie en proposities) verduidelijken,
  • Algemene bewijsmethoden ontwikkelen.

Frege deed dit voor de arithmetica omdat hij de arithmetica beschouwde als de basis van alle wiskunde.

Er waren echter twee problemen.

• Onder de vijf axioma's van de klassieke meetkunde is het parallellenaxioma, wat zegt: Voor elke lijn l en elk punt P niet op l bestaat er een lijn m zodat P op m ligt en m parallel is met l. Hierbij betekent parallel "l en m ontmoeten elkaar nooit". In 1800 ontwikkelden Bolyai en Lobachevsky (en misschien Gauss) een meetkunde waarin dit axioma niet waar was en de andere vier wel. Wat toen al een vraag was werd toen een groot probleem: wat is de zekerheid van axioma's?
• Russels paradox toonde aan dat een van Freges axioma's onwaar was.

Dus Euclides' uitspraak dat axioma's vanzelfsprekend waar zijn, moest serieus in twijfel getrokken worden.

Het antwoord hierop van Russel en Gödel was dat de axioma's getoetst moesten worden, empiristisch. Dit sloeg niet aan (zie Brown waarom niet).

Toen kwam Hilbert die zei dat axioma's arbitraire stipulaties zijn. De axioma's, uitspraken over de primitieve termen, blijken volgens hem niets te zeggen over de werkelijke wereld. De enige voorwaarde is, dat de axioma's consistent zijn. Dus geen waarheidsvraag meer, maar een consistentievereiste. (Er was even hoop, maar in 1931 bewees Gödel dat het niet mogelijk is formeel te laten zien dat zelfs de simpelste axioma's consistent zijn.)