Axiomatisch systeem

Om een propositie in een taal te begrijpen zijn verschillende dingen nodig. Allereerst moeten er regels zijn: syntax. En symbolen en woorden moeten betekenis hebben, dat is semantiek. "Ik leraar is." heeft een syntaxfout, nl. het gebruik van "ik" en "is" zo samen is tegen de regels van onze taal. "Ik ben een gaurob." is semantisch fout, want "gaurob" heeft geen betekenis.

Omdat je bezig kunt blijven van alles te definieren (Oneindige regressie, een soort cirkelredenering), wordt (onder andere) uitgegaan van een basis die vaststaat, de axioma's. Deze kunnen niet worden bewezen en hebben nog geen betekenis.

Inhoud

1 Definitie 2 Voorbeeld 2.1 Primitieve termen 2.2 Afleidingsregels 2.3 Conventies 2.4 Axioma's 2.5 Modellen

Definitie

Een axiomatisch systeem bestaat uit:

1. Een verzameling van primitieve elementen en symbolen
2. Syntactische regels
3. Een verzameling van (het liefst consistente) axioma's (die voldoen aan syntactische regels)
4. Afleidingsregels (in deze studie zijn dat deze afleidings- en vervangingsregels)

Aan een systeem zelf is geen semantiek verbonden, de termen en symbolen hebben geen betekenis. Dus theorema's in een axiomatisch systeem zijn geen proposities (want ze hebben geen waarheidswaarde). In de interpretatie (model) worden de axioma's en theorema's proposities. Dit wordt geillustreerd door Hilberts uitspraak:

One must be able to say at all times - instead of points, lines and planes - tables, chairs and beer mugs.

Voorbeeld

Primitieve termen

punt, lijn, bevat

Afleidingsregels

Gebruikelijke afleidings- en vervangingsregels.

Conventies

 Domein hoofdletters: 'punten'
 Domein kleine letters: 'lijnen'

 a # B : a bevat B
 B = C : B is gelijk aan C
 b = c : b is gelijk aan c

 ¬(B=C) } B is niet gelijk aan C
 B≠C    }

Axioma's

• A1: Er zijn precies vier punten: A, B, C, D
• A2: Elke lijn bevat tenminste twee punten.
• A3: Voor elk punt P en elk punt Q niet gelijk aan P is er een unieke lijn die P en Q bevat.
• A4: Er zijn drie verschillende punten, zodaning dat er geen lijn is die ze alle drie bevat.

XXX Dit moet nog gecorrigeerd worden, het is niet correct. Geformaliseerd:

• A1: ∀P (P=A ∨ P=B ∨ P=C ∨ P=D)
• A2: ∀m [∃P∃Q (P≠Q & (m#P) & (m#Q))]
• A3: ∀P∀Q ( (P≠Q) → ∃m [(m#P) & (m#Q) & ∀n [((n#P) & (n#Q)) & (m#Q)) → (m=n) ])
• A4: ∃P∃Q∃R [P≠Q & Q≠R & P≠R & ¬∃m ((m#P) & (m#Q) & (m#R))]

Modellen

Een vanzelfsprekend model is vier punten met lijnen daartussen, zoals de terminologie in het systeem al oproept.

Een ander (niet meetkundig) model is bijvoorbeeld een gezin met vier personen en ieder persoon heeft een 2-relatie met een ander (met een 2-relatie wordt bedoeld dat relaties slechts bestaan tussen twee personen, niet meer). De primitieve term 'punt' staat voor een persoon in het gezin, 'lijn' voor relatie en 'een lijn bevat' staat voor betrokken zijn bij een relatie. Dan worden de axioma's (vrij vertaald):

• A1: Er zijn precies vier gezinsleden.
• A2: Elke relatie is tussen minimaal twee personen.
• A3: Er is een relatie tussen iedere twee verschillende personen.
• A4: Er zijn drie verschillende personen waarvoor niet een relatie te geven is waar ze alle drie bij betrokken zijn.