Quantor

In de predikaatslogica worden quantoren gebruikt om proposities te formaliseren. Er zijn twee quantoren die we gebruiken.

Inhoud

1 Universele quantor 1.1 Voorbeeld 2 Existentiele quantor 2.1 Voorbeeld 3 Gebonden variabelen 4 Kwantificatie Negatie 5 Een uitgebreider voorbeeld

Universele quantor

De universele quantor ∀x(P) geeft aan voor alle mogelijke x (in het domein) propositie P Waar is.

Voorbeeld

Alle zoogdieren zijn dieren. = Voor alle x, als x is een zoogdier, dan is x een dier. = ∀x(Zx→Dx)

Existentiele quantor

De existentiele quantor ∃x(P) geeft aan dat er op zijn minst een x bestaat waarvoor P Waar is.

Voorbeeld

Sommige dieren zijn zoogdieren. = Er is tenminste een x zodat x een dier is en x een zoogdier is. = ∃x(Dx&Zx)

Gebonden variabelen

Als in een uitdrukking binnen een quantor (P in vorige voorbeelden) slechts gebonden variabelen bevat, dat is de variabele waar de quantor op werkt (x in vorige voorbeelden), dan heeft de uitdrukking een waarheidswaarde en is het dus een propositie. Zo'n uitdrukking worden zinnen (sentences) genoemd.

Als er ongebonden variabelen in een uitdrukking zijn, dan heeft de uitdrukking geen waarheidswaarde.

Zinnen	Niet-zinnen
∀x(Dx)	∀x(Zy)
∃x[Dx→(Ex∨¬Gx)]	∃x[Bx↔(Ey&Fx)]
∀y∀x(Dx∨Dy)	∃y∀x(Dy&Zx↔Ez)

Kwantificatie Negatie

De negatie van een quantor is iets ingewikkelder dan negatie in de propositionele logica. Een voorbeeld ter illustratie. De propositie "Alle atleten zijn fit." is te formaliseren tot ∀x(Fx). De negatie hiervan is niet "Alle atleten zijn niet fit." ∀x(¬Fx), maar wel "Er is tenminste een atleet die niet fit is.", te formaliseren als ∃x(¬Fx).

• ¬∀x(Fx) is equivalent met ∃x(¬Fx)
• ¬∃x(Fx) is equivalent met ∀x(¬Fx)

Een uitgebreider voorbeeld

 Hxy : x houdt van y.
 Domein van x en y: 'mensen'.

1. ∀x∀y Hxy = Iedereen houdt van iedereen.
2. ∀x∃y Hxy = Iedereen houdt van iemand.
3. ∃x∀y Hxy = Er is iemand die van iedereen houdt.
4. ∃x∃y Hxy = Er is iemand die van iemand houdt.
5. ∀y∀x Hxy = Voor iedereen, iedereen houdt van hem/haar.
6. ∀y∃x Hxy = Er is iemand waar iedereen van houdt.
7. ∃y∀x Hxy = Voor iedereen, er is iemand die van hem/haar houdt.
8. ∃y∃x Hxy = Er is iemand waar iemand van houdt.

∀x∀y en ∀y∀x zijn syntactisch verschillend, maar semantisch gelijk. Dit geldt ook voor ∃x∃y en ∃y∃x.