LogischeOefeningen

Inhoud

1 Zijn proposities 1,2 en 3 waar of onwaar? 1.1 Antwoord 2 Waarheidstafel 2.1 Antwoord 3 Tautologische implicatie 3.1 Antwoord 3.2 Voorbeeld 4 Tautologische equivalentie 4.1 Antwoord 4.2 Voorbeeld 5 Geldigheid 5.1 Antwoord 6 Geldigheid door middel van formeel bewijs 6.1 Antwoord 7 Inconsistente premissen 7.1 Antwoord

Zijn proposities 1,2 en 3 waar of onwaar?

P: 6>24
Q: 12 is een even getal
R: 1000 = 10³
S: pi is een rationeel getal

1. P → Q
2. ¬R & Q
3. S ↔ P

Antwoord

1. P is Onwaar en Q is Waar. Volgens de waarheidstafel van Implicatie is propositie 1 Waar.
2. R is Waar, ¬R is Onwaar, dus propositie 2 is Onwaar.
3. S is Onwaar, en P ook niet. Propositie 3 is dus Waar.

Waarheidstafel

Geef de waarheidstafel voor ¬(q&p) ↔ (p→¬q). Is dit een tautologie?

Antwoord

q	p	(q&p)	¬(q&p)	¬q	(p→¬q)	¬(q&p) ↔ (p→¬q)
W	W	W	O	O	O	W
W	O	O	W	O	W	W
O	W	O	W	W	W	W
O	O	O	W	W	W	W

De propositie is altijd waar en dus een tautologie.

Tautologische implicatie

Als p q logisch implicieert (p|-q), dan is p→q een tautologie. Leg uit waarom en geef een voorbeeld. Wat kun je zeggen over de logische relatie tussen p en q als p→q een tautologie is?

Antwoord

Stel p|-q. Dan is q Waar wanneer p Waar is. Met andere woorden, er is geen combinatie van waarheidswaarden zodanig dat p Waar is en q Onwaar is. Maar dit is de enige manier waarop p→q Onwaar kan zijn. Dus is p→q een tautologie.

Voorbeeld

p|-(p∨q), dus: p→(p∨q) tautologie.

p q p∨q p→(p∨q) W W W W W O W W O W W W O O O W

Tautologische equivalentie

Als p en q logisch equivalent zijn, dan is p↔q een tautologie. Leg uit waarom en geef een voorbeeld. Wat kun je zeggen over de logische relatie tussen p en q als p↔q een tautologie is?

Antwoord

Stel p≡q. Dan p|-q en q|-p. Dus p is Waar wanneer q Waar is, en q is Waar wanneer p Waar is. Met andere woorden, er is geen combinatie van waarheidswaarden zodanig dat p en q verschillende waarheidswaarden hebben. Maar dit is de enige manier waarop p↔q onwaar kan zijn. Dus is p↔q een tautologie.

Voorbeeld

(¬p∨¬q) ≡ ¬(p&q), dus (¬p∨¬q) ↔ ¬(p&q) een tautologie.

p	q	p&q	¬p	¬q	¬(p&q)	(¬p∨¬q)	(¬p∨¬q) ↔ ¬(p&q)
W	W	W	O	O	O	O	W
W	O	O	O	W	W	W	W
O	W	O	W	O	W	W	W
O	O	O	W	W	W	W	W

Geldigheid

Als je hard werkt, dan krijg je een goede baan. Als je een goede baan krijgt, dan word je rijk. Dus als je hard werkt, dan word je rijk.

Is dit argument geldig?

Antwoord

 H : je werkt hard
 B : je krijgt een goede baan
 R : je wordt rijk

1.	H→B	(P)
2.	B→R	(P)
3.	H→R	(1,2,HS)

Dit is dus een geldig argument.

Geldigheid door middel van formeel bewijs

Als hij niet afgestudeerd is, dan is hij geen ingenieur. Hij is niet afgestudeerd en hij is een postzegelverzameling begonnen. Hij is ingenieur of hij is geen postzegelverzameling begonnen. Dus is hij heel slim.

Laat dmv een formeel bewijs zien dat dit een geldig argument is.

Antwoord

Een argument is geldig als de conjunctie van alle premissen de conclusie impliceert.

 A : hij is afgestudeerd
 I : hij is ingenieur
 P : hij is een postzegelverzameling begonnen
 S : hij is heel slim

1.	¬A→¬I	(P)
2.	¬A&P	(P)
3.	I∨¬P	(P)
4.	¬A	(2; Simp)
5.	¬I	(1,4; MP)
6.	¬P	(3,5; DS)
7.	P&¬A	(2; Com)
8.	P	(7; Simp)
9.	P∨S	(8; Add)
10.	S	(6,9; DS)

Pas op als de conclusie geen component is van de premissen. Want als je dmv een formeel bewijs kunt bewijzen dat zo'n argument geldig is, dan zou je dat ook kunnen doen voor elk ander argument met dezelfde premissen, onafhankelijk van wat de conclusie is ... De premissen zijn inconsistent.

Inconsistente premissen

Laat door middel van een formeel bewijs zien dat uit een verzameling inconsistente premissen elke willekeurige conclusie getrokken kan worden.

Antwoord

In een verzameling inconsistente premissen zijn er tenminste twee premissen die niet tegelijk waar kunnen zijn. Noem ze A en ¬A.

1.	A	(P)
2.	¬A	(P)
3.	A∨B	(1; Add)	of	¬A∨B	(2;Add)
4.	B	(2,3; DS)	of	B	(1,3; DS)

B is een willekeurige conclusie.