Concretisering en Generalisatie
Proposities met quantoren in de predikaatslogica kunnen niet met waarheidstafels te lijf gegaan worden. Zij moeten dus formeel bewezen worden met te bekende vervangings- en afleidingsregels. Met behulp van concretisering quantorvrije proposities geconstrueerd, dan kan de afleiding gedaan worden en dan wordt dit indien gewenst weer naar de gequantoriseerde (bestaat dit woord?) conclusie vertaalt met behulp van generalisatie.
| Inhoud |
Concretisering
Universele concretisering
Voor een gegeven propositionele functie Fx, als ∀x(Fx) waar is, dan is Fa ook waar voor ieder element a van het domein van x.
Existentiele concretisering
Voor een gegeven propositionele functie Fx, als ∃x(Fx) waar is, dan is er tenminste een element a van het domein van x waarvoor Fa waar is.
Generalisatie
Universele generalisatie
Als de propositie Fa waar is voor om het even welk arbitrair element a van het domein van x, dan is ∀x(Fx) waar.
Existentiele generalisatie
Als de propositie Fa waar is voor een bepaald element a van het domein van x, dan is ∃(Fx) waar.
Voorbeelden
Student en huiswerk
Iedere student die de lessen bijwoont en huiswerk maakt is ingeschreven voor de cursus. Geen student die ingeschreven is voor de cursus heeft huiswerk gemaakt. Er zijn studenten die de lessen bijwonen. Dus zijn er studenten die geen huiswerk gemaakt hebben.
Domein: 'de studenten' Propositionele functies: Lx : x woont de lessen bij Hx : x maakt huiswerk Ix : x is ingeschreven voor de cursus
| 1. | ∀x[(Lx&Hx)→Ix] | (P) |
| 2. | ¬∃x(Ix&Hx) | (P) |
| 3. | ∃x(Lx) | (P) |
| 4. | ∀x(¬(Ix&Hx)) | (2;KN) |
| 5. | La | (3;EC) |
| 6. | (La&Ha)→Ia | (1;UC) |
| 7. | La→(Ha→Ia) | (6;Exp) |
| 8. | Ha→Ia | (7,5;MP) |
| 9. | ¬(Ia&Ha) | (4;UC) |
| 10. | ¬Ia∨¬Ha | (9;DeM) |
| 11. | Ia→¬Ha | (10;Impl) |
| 12. | Ha→¬Ha | (8,11;HS) |
| 13. | ¬Ha∨¬Ha | (12;Impl) |
| 14. | ¬Ha | (13;Taut) |
| 15. | ∃x(¬Hx) | (14;EG) |
Inwoners van Eindhoven en Amsterdam
Iedereen die in Amsterdam of Eindhoven woont is slim en neurotisch. Dus is iedereen die die in Eindhoven woont slim.
Domein: 'mensen' Propositionele functies: Ax : x woont in Amsterdam Ex : x woont in Eindhoven Sx : x is slim Nx : x is neurotisch
| Zonder Als-dan bewijs | Met Als-dan bewijs | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|